\documentclass[12pt]{article}

\usepackage{amssymb, amsmath}

\newcommand\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
\newcommand{\arctg}{\operatorname{arctg}}

\begin{document}

$$ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + {x^5 \over 5!} - \dots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + 
   O(x^{2n+3}) $$

При $m = \frac{n}{2}$ получим, что

При $m = \dfrac{n}{2}$ получим, что

$$ \int_0^1 \sin x \, dx = 
   \int_0^1 \left( x - \frac{x^3}{3!} + {x^5 \over 5!} - \dots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + 
   O(x^{2n+3}) \right) \, dx $$

$$ \int_0^1 \sin x \, dx = 
   \int_0^1 \Biggl( \biggl( \Bigl( \bigl( ( x - \frac{x^3}{3!} + {x^5 \over 5!} - \dots + 
(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + O(x^{2n+3}) ) \bigr) \Bigr) \biggr) \Biggr) \, dx $$

$$ \left( \int\limits_0^1 \sin x \, dx \right) = 
   \int_0^1 \left( x - \frac{x^3}{3!} + {x^5 \over 5!} - \dots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + 
   O(x^{2n+3}) \right) \, dx $$

$$ \tg\limits^3 $$

$$ \arctg\limits^3 $$

$$ \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \neq 2 .$$

$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \neq 2 .$$

Заметим, что $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \neq 2$, поэтому 
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^\sigma x}{x^\sigma} \neq 4$.

Первая страшная формула:
$$
\alpha(r) = 
\frac{\frac{1}{\pi} - \sqrt{r} 4 
\dfrac{\sum\limits_{n=-\infty}^\infty n^2(-q)^{n^2}}
{\sum\limits_{n=-\infty}^\infty (-q)^{n^2}}}
{\left[ \sum\limits_{n=-\infty}^\infty q^{n^2} \right]^4}
$$

Более продвинутый способ набора: определяем макрокоманду
\newcommand\summa{\sum\limits_{n=-\infty}^\infty}
$$
\alpha(r) = 
\frac{\frac{1}{\pi} - \sqrt{r} 4 
\dfrac{\summa n^2(-q)^{n^2}}{\summa (-q)^{n^2}}}
{\left[ \summa q^{n^2} \right]^4}
$$

Вторая страшная формула:
$$ 
\alpha(p^2r) = \frac{\alpha(r)}{M_p^2} - \sqrt{r} 
\left[ 
\frac{k_0^2}{M_p^2} - pk_1^2 + \frac{p{k'_1}^2k_1 \dot M_p}{M_p} 
\right]
$$

Третья страшная формула:
$$ 
0 = \pi^3i + \lim\limits_{\substack{r \to +0 \\ R \to +\infty}}
\int\limits_{C_{r,R}} \frac{z^2\,dz}{-e^{-z}-1} = 
\pi^3i + \lim\limits_{\substack{r \to +0 \\ R \to +\infty}}
\left( \int\limits_\rightarrow + \int\limits_\uparrow + \int\limits_\leftarrow
+ \int\limits_\downarrow + \right) \frac{z^2\,dz}{-e^{-z}-1}
$$

Определение модуля:
$$
|x|=
\begin{cases}
x   & \text{если} \quad x\geq 0 \\
-x  & \text{иначе}
\end{cases}
$$

То же, но с правильным знаком неравенства:
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
$$
|x|=
\begin{cases}
x   & \text{если} \quad x\geq 0 \\
-x  & \text{иначе}
\end{cases}
$$

\end{document}
