\documentclass[12pt]{amsart}
\usepackage{amssymb,amsmath}

%\usepackage[english,russian]{babel}
%\usepackage[cp866]{inputenc}

\renewcommand{\le}{\leqslant}
\renewcommand{\ge}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\newcommand\E{\mathbb{E}}
%\newcommand\S{\mathbb{S}}
%\def\S{\mathbb{S}}
\newcommand\ptwo{{\psi_2}}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large Оформление больших формул}
\end{center}

The concentration of measure phenomenon in various classes 
of probability metric spaces is a remarkable and well known theme
in Geometric Functional Analysis. 
Discovered by V. ~Milman, it has been crucial in proofs of many results in
the asymptotic theory of finite dimensional normed spaces.
% кусочек текста для того, чтобы обозначить ширину страницы

% $$ \S $$

Большая формула (взятая из какой-то статьи), которую будем набирать 
разными способами. 
$$
\E \|F\|_2  
  \le  ( \E \|F\|_2^2 )^{1/2}
   =    \Big( \E \sum_{j=1}^m \langle F, x_j \rangle ^2 \Big)^{1/2}
   =   \Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_2(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le  C \Big( \sum_{j=1}^m 
                \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_\ptwo(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le  C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_{X^*}^2 \Big)^{1/2}  
   =   C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_2^2 \Big)^{1/2}  
   =   C n^{1/2}.
$$

\hrule

Это совсем кустарно. Так делать {\bfseries\itshape не следует}.
$$
\E \|F\|_2  
  \le  ( \E \|F\|_2^2 )^{1/2}
   =    \Big( \E \sum_{j=1}^m \langle F, x_j \rangle ^2 \Big)^{1/2}
   = 
$$
$$
= \Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_2(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le
C \Big( \sum_{j=1}^m 
                \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_\ptwo(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le $$
$$
\le C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_{X^*}^2 \Big)^{1/2}  
   =   C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_2^2 \Big)^{1/2}  
   =   C n^{1/2}.
$$

\hrule

Вполне разумно, если строчек 2 или 3.
\begin{multline}
\E \|F\|_2  
  \le  ( \E \|F\|_2^2 )^{1/2}
   =    \Big( \E \sum_{j=1}^m \langle F, x_j \rangle ^2 \Big)^{1/2}
   =   \\
= \Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_2(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le  C \Big( \sum_{j=1}^m 
                \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_\ptwo(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le \\
\le C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_{X^*}^2 \Big)^{1/2}  
   =   C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_2^2 \Big)^{1/2}  
   =   C n^{1/2}.
\end{multline}

\hrule

Тоже самое, но без нумерации.
\begin{multline*}
\E \|F\|_2  
  \le  ( \E \|F\|_2^2 )^{1/2}
   =    \Big( \E \sum_{j=1}^m \langle F, x_j \rangle ^2 \Big)^{1/2}
   =   \\
= \Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_2(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le  C \Big( \sum_{j=1}^m 
                \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_\ptwo(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le \\
\le C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_{X^*}^2 \Big)^{1/2}  
   =   C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_2^2 \Big)^{1/2}  
   =   C n^{1/2}.
\end{multline*}

\hrule
А это мы убрали отступы. Это может быть полезно, если формула совсем 
большая.  

{\setlength{\multlinegap}{0pt}
\begin{multline*}
\E \|F\|_2  
  \le  ( \E \|F\|_2^2 )^{1/2}
   =    \Big( \E \sum_{j=1}^m \langle F, x_j \rangle ^2 \Big)^{1/2}
   =   \\
= \Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_2(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le  C \Big( \sum_{j=1}^m 
                \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_\ptwo(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le \\
\le C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_{X^*}^2 \Big)^{1/2}  
   =   C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_2^2 \Big)^{1/2}  
   =   C n^{1/2}.
\end{multline*}
}

\hrule
Если строк 4 и более, то примененный способ дает плохие результаты:

\begin{multline*}
\E \|F\|_2  
  \le  \Bigl( \E \|F\|_2^2 \Bigr)^{1/2}
   =    \Biggl( \E \sum_{j=1}^m \langle F, x_j \rangle ^2 \Biggr)^{1/2}
   =   \\
= \Biggl( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{_{L_2(T,\mu)}}^2 \Biggr)^{1/2}
  \le  C \Biggl( \sum_{j=1}^m 
                \bigl\| \langle F, x_j \rangle \bigr\|_{L_\ptwo(T,\mu)}^2 \Biggr)^{\!\!\!\!1/2}
  \le \\
= \Biggl( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_2(T,\mu)}^2 \Biggr)^{1/2}
  \le  C \Biggl( \sum_{j=1}^m 
                \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_\ptwo(T,\mu)}^2 \Biggr)^{1/2}
  \le 3465783465 \le \\
\le C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_{X^*}^2 \Big)^{1/2}  
   =   C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_2^2 \Big)^{1/2}  
   =   C n^{1/2}.
\end{multline*}

\hrule
А можно набирать формулы с выравниванием по знакам равенства-неравенства.

\begin{align*}
\E \|F\|_2  
  &\le  ( \E \|F\|_2^2 )^{1/2}
   =    \Big( \E \sum_{j=1}^m \langle F, x_j \rangle ^2 \Big)^{1/2}
   =   \\
&= \Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_2(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le  C \Big( \sum_{j=1}^m 
                \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_\ptwo(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le \\
&\le C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_{X^*}^2 \Big)^{1/2}  
   =   C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_2^2 \Big)^{1/2}  
   =   C n^{1/2}.
\end{align*}

\hrule
\newpage

А можно даже и так. Места занимает много, но читать удобно.

\begin{align*}
\E \|F\|_2  
  &\le  ( \E \|F\|_2^2 )^{1/2}
= \\ &= 
\Big( \E \sum_{j=1}^m \langle F, x_j \rangle ^2 \Big)^{1/2}
= \\&= 
\Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_2(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
\le \\ &\le 
C \Big( \sum_{j=1}^m 
                \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_\ptwo(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
\le \\&\le 
C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_{X^*}^2 \Big)^{1/2}  
=\\&=
C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_2^2 \Big)^{1/2}  
=\\&=   
C n^{1/2}.
\end{align*}

\hrule
Убрали звездочку. Наверное это не совсем то, что хотелось.

\begin{align}
\E \|F\|_2  
  &\le  ( \E \|F\|_2^2 )^{1/2}
= \\ &= 
\Big( \E \sum_{j=1}^m \langle F, x_j \rangle ^2 \Big)^{1/2}
= \\&= 
\Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_2(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
\le \\ &\le 
C \Big( \sum_{j=1}^m 
                \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_\ptwo(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
\le \\&\le 
C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_{X^*}^2 \Big)^{1/2}  
=\\&=
C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_2^2 \Big)^{1/2}  
=\\&=   
C n^{1/2}.
\end{align}

\hrule
Лишние номера можно убрать вручную.

\begin{align}
\notag
\E \|F\|_2  
  &\le  ( \E \|F\|_2^2 )^{1/2}
= \\ &= 
\Big( \E \sum_{j=1}^m \langle F, x_j \rangle ^2 \Big)^{1/2}
= \\&= 
\label{stroka3}
\Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_2(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
\le \\ &\le 
\label{stroka4}
C \Big( \sum_{j=1}^m 
                \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_\ptwo(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
\le \\&\le 
C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_{X^*}^2 \Big)^{1/2}  
=\\&=
C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_2^2 \Big)^{1/2} \notag 
=\\&=   
\notag C n^{1/2}.
\end{align}

Из~(\ref{stroka3}) очевидно следует~(\ref{stroka4}). 

\hrule
А вот так правильно нумеровать многострочную формулу с выравниванием. 
Номер оказывается посредине.

\begin{equation}
\begin{aligned}
\E \|F\|_2  
  &\le  ( \E \|F\|_2^2 )^{1/2}
= \\ &= 
\Big( \E \sum_{j=1}^m \langle F, x_j \rangle ^2 \Big)^{1/2}
= \\&= 
\Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_2(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
\le \\ &\le 
C \Big( \sum_{j=1}^m 
                \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_\ptwo(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
\le \\&\le 
C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_{X^*}^2 \Big)^{1/2}  
=\\&=
C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_2^2 \Big)^{1/2}  
= C n^{1/2}.
\end{aligned}
\end{equation}

\hrule
\newpage

Так тоже можно. В чем принципиальная разница окружений {\tt aligned}
и {\tt split} я не знаю.

\begin{equation}
\begin{split}
\E \|F\|_2  
  &\le  ( \E \|F\|_2^2 )^{1/2}
= \\ &= 
\Big( \E \sum_{j=1}^m \langle F, x_j \rangle ^2 \Big)^{1/2}
= \\&= 
\Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_2(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
\le \\ &\le 
C \Big( \sum_{j=1}^m 
                \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_\ptwo(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
\le \\&\le 
C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_{X^*}^2 \Big)^{1/2}  
=\\&=
C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_2^2 \Big)^{1/2}  
= C n^{1/2}.
\end{split}
\end{equation}

\hrule
А можно выравнивать и более сложные конструкции.

\begin{equation}
\begin{aligned}
\E \|F\|_2  
  &\le  ( \E \|F\|_2^2 )^{1/2}
= \\ &
\begin{aligned}= 
\Big( \E \sum_{j=1}^m \langle F, x_j \rangle ^2 \Big)^{1/2}
&+ \Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_2(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
+ \\ &+ 
C \Big( \sum_{j=1}^m 
                \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_\ptwo(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
\le 
\end{aligned}
\\ &\le 
C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_{X^*}^2 \Big)^{1/2}  
=\\&=
C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_2^2 \Big)^{1/2}  
= C n^{1/2}.
\end{aligned}
\end{equation}

\newpage

\hrule
Если хочется, то можно выровнять и в два столбика (полезно, например, при 
записи большого числа уравнений).

\begin{align*}
\E \|F\|_2  
  &\le  ( \E \|F\|_2^2 )^{1/2}
&&= 
\Big( \E \sum_{j=1}^m \langle F, x_j \rangle ^2 \Big)^{1/2}
= \\&= 
\Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_2(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
&&\le 
C \Big( \sum_{j=1}^m 
                \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_\ptwo(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
\le \\&\le 
C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_{X^*}^2 \Big)^{1/2}  
&&=
C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_2^2 \Big)^{1/2}  
=\\&=   
C n^{1/2}.
\end{align*}

\hrule

The concentration of measure phenomenon in various classes 
of probability metric spaces is a remarkable and well known theme
in Geometric Functional Analysis. 

Но часто такие формулы плохо лезут.

\begin{align*}
\E \|F\|_2  
  &\le  ( \E \|F\|_2^2 )^{1/2}
&bubububububu&= 
\Big( \E \sum_{j=1}^m \langle F, x_j \rangle ^2 \Big)^{1/2}
= \\&= 
\Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_2(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
&&\le 
C \Big( \sum_{j=1}^m 
                \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_\ptwo(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
\le \\&\le 
C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_{X^*}^2 \Big)^{1/2}  
&&=
C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_2^2 \Big)^{1/2}  
=\\&=   
C n^{1/2}.
\end{align*}

\hrule

Что-то можно подправить вручную, но все равно будет плохо.

\begin{align*}
\E \|F\|_2  
  &\le  ( \E \|F\|_2^2 )^{1/2}
&bu&bububububu= 
\Big( \E \sum_{j=1}^m \langle F, x_j \rangle ^2 \Big)^{1/2}
= \\&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!= 
\Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_2(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
&&\le 
C \Big( \sum_{j=1}^m 
                \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_\ptwo(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
\le \\&\le 
C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_{X^*}^2 \Big)^{1/2}  
&&=
C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_2^2 \Big)^{1/2}  
=\\&=   
C n^{1/2}.
\end{align*}

\hrule

Вот такие навороченные конструкции тоже возможны.

$$
\begin{aligned}
\E \|F\|_2  
  &\le  ( \E \|F\|_2^2 )^{1/2}
= \\ &
\left(
\begin{aligned}= 
%\Big( \E \sum_{j=1}^m \langle F, x_j \rangle ^2 \Big)^{1/2}
&+ \Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_2(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
+ \\ &+ 
C \Big( \sum_{j=1}^m 
                \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_\ptwo(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
\le 
\end{aligned}
\right)
&\Leftrightarrow 
\left(
\begin{aligned}= 
C &\Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_{X^*}^2 \Big)^{1/2}  
=\\&=
C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_2^2 \Big)^{1/2}  
%= C n^{1/2}.
\end{aligned}
\right)
\end{aligned}
$$

\hrule
Бывает нужно отцентрировать две выключные формулы подряд. Делать это нужно 
не так:

$$
\int\limits_0^\infty \frac{1}{1+x^2} \, dx = \frac{\pi}{2}
$$
$$
\int\limits_0^\infty \frac{3}{1+x^2} \, dx = \frac{3\pi}{2}
$$

\hrule
А так:

\begin{gather}
\int\limits_0^\infty \frac{1}{1+x^2} \, dx = \frac{\pi}{2}
\\
\int\limits_0^\infty \frac{3}{1+x^2} \, dx = \frac{3\pi}{2}
\end{gather}

\hrule
\begin{equation}
bebebe
\end{equation}

А вот мы их захотели пронумеровать так, что вторая будет штрихованной 
первой. Просто номер писать плохо, поскольку вставка нумерованной формулы 
в начало собьет всю нумерацию.

\begin{gather}
\int\limits_0^\infty \frac{1}{1+x^2} \, dx = \frac{\pi}{2}
\label{eqn17}
\\
\tag{\ref{eqn17}$'$}
\int\limits_0^\infty \frac{3}{1+x^2} \, dx = \frac{3\pi}{2}
\end{gather}

\hrule
Это правильно набранный интеграл.

$$ \int\limits_{x^2+y^2\leq 1} \frac{dx\,dy}{\sqrt{x^2+y^2}} $$

Ставим номер (звездочку) вручную.

\begin{gather}
\int\limits_0^\infty \frac{1}{1+x^2} \, dx = \frac{\pi}{2}
\tag*{[*]}
\\
\tag{$*$}
\int\limits_0^\infty \frac{3}{1+x^2} \, dx = \frac{3\pi}{2}
\\
\tag{$*{*}*$}
\int\limits_0^\infty \frac{5}{1+x^2} \, dx = \frac{5\pi}{2}
\\
\intertext{Лучше всего, конечно, пять звездочек\dots}
\tag{$*{*}{*}{*}*$}
\int\limits_0^\infty \frac{7}{1+x^2} \, dx = \frac{5\pi}{2}
\end{gather}

\hrule

\begin{center}
{\large Масштабные значки под интегралами и знаками суммирования.}
\end{center}

Кусок какой-то нечитаемой формулы из некой статьи:
$$
\sum_{1\leq b \leq n} \sum_{1 \leq d \leq n, d \frac{C}{D} \leq (b+d) \frac{A+C}{B+D} < b \frac{A}{B} + d \frac{C}{D}} 
\sum_{a\mid b}
$$

Так немножко получше
$$
\sum_{1\leq b \leq n} 
\,\, 
\sum_{\substack{1 \leq d \leq n \\[2pt] 
d \frac{C}{D} \leq (b+d) \frac{A+C}{B+D} < b \frac{A}{B} + d \frac{C}{D}}} 
\,\,
\sum_{a\mid b}
$$

Вообще-то так можно хоть полстраницы индексов написать.
$$
\sum_{\substack{1\leq b \leq n \\ 1 \leq c \leq n \\ 1 \leq d \leq n \\ 1 \leq e \leq n}} 
$$

\hrule
\newpage

Напоследок наберем простенькую коммутативную диаграмму.

$$
\begin{matrix} 
B\quad&\rightarrow& K_G^{p+q}(\bar\sigma\times F_{\tau},\dot\sigma\times F_{\tau})&\\
\uparrow\cong&\nearrow&\uparrow&\\
C\quad&\rightarrow&K_G^q(F_{\tau})&\\
\end{matrix}
$$

\end{document}
