\documentclass[12pt]{article}

%\usepackage[russian]{babel}
%\usepackage[T2A]{fontenc}
%\usepackage[cp1251]{inputenc}
%
% Это нужно для стандартной русификации. 
%

\usepackage{amsmath,amssymb}
%
% Пакет amsmath нужен для тонкого набора формул, ниже он используется 
% дважды: для \dfrac и для окружения cases.
%
% Пакет amssymb нужен для всяких символов и математических шрифтов, в этом 
% файле -- для вещественных чисел и знаков неравенства
%

\begin{document}

{\it Здесь} {\sf был} {\sl Вася}.

$\lim_{x \to \infty} x^{-x}$

$\lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}$

% Без \limits пределы покадают куда-то не совсем туда

$\tan \pi/3$

% Это буржуйский тангенс, у нас так не пишут

\newcommand\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}

% Заведем свой. У меня в русификации его нет, но во многих он есть заранее

$\tg \pi/3$

\newcommand\Tg{\mathop{\rm tg}}

$$ \Tg^2 x $$

% Объясняем зачем писать \nolimits

\centerline{\sc Какой-то заголовок}

% Так можно центрировать текст

$\lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{k=1}^n \dfrac{1}{k^2}=\dfrac{\pi^2}{6}$

{\bf 1.} Постройте график функции 
$$ f(x) = 
\begin{cases}
1 & \hbox{при } x < 0    \\
x & \hbox{при } x \geq 0
\end{cases}
$$
%
% Пример выключной формулы и окружения cases.
%
$$
\int\limits_0^\infty \frac{\sin x}{x} \, dx .
$$
%
% Так пишут интегралы. Без \limits и \, выглядит плохо.
%
$$
\int_0^\pi \sin x dx .
$$
$$
\int\limits_0^\pi \sin x \, dx .
$$
%
% Почувствуйте разницу.
%
$$
\int\limits_0^\pi \int\limits_0^\pi \sin (x+y) \, dx \, dy .
$$
%
% А это двойной интеграл
%
$x \in \mathbb R$, $2 \leq 3$, $2 \leqslant 3$
%
% Вещественные числа и знаки неравенств
%
% Обычно просто переопределяют команды \leq и \geq, например, так:
%

\renewcommand\geq{\geqslant}
$3 \geq 2$

Хорошая новость: ``кавычки''
%
% В некоторых русификациях кавычки-елочки ставятся так: <<кавычки>>, а в 
% некоторых так: \llq и \rrq, а бывает и так: \лк и \пк.
%
\chardef\llq=128
\chardef\rrq=129
%
% Вот теперь и у нас можно
%
\llq кавычки\rrq
\end{document}
