\documentclass[12pt]{amsart}
%
% amsart -- стандартный стиль для оформления математических статей, весьма 
% удобен и во многих случаях лучше пользоваться именно им.
%

%\usepackage[russian]{babel}
%\usepackage[T2A]{fontenc}
%\usepackage[cp1251]{inputenc}
%
% Это нужно для стандартной русификации. 
%

\usepackage{amsmath,amssymb}

\usepackage{epic,eepic}
% Только для того, чтобы нарисовать картинку

\newtheorem{thm}{Теорема}
% Окружение типа "теорема"

\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{defn}{Определение}
% Окружение типа "определение"
% * означает, что мы определения не нумеруем автоматически

\theoremstyle{remark}
\newtheorem{remark}{Замечание}
% Окружение типа "замечание"

\begin{document}

\title{Все о биномиальных коэффициентах}
\author{К.Кохась}
%\address{Санкт-Петербургский Государственный Университет}
\maketitle
% Рисуем заголовок статьи

\frenchspacing
% Для того, чтобы не увеличивались пробелы посте точки.

\tableofcontents
% Рисуем оглавление

\section{Введение}

\subsection{Историческая справка}

\emph{Бином} связывают с имнем И.\,Нью\-тона (1642--1727),
% \emph{} выделяет что-либо другим шрифтом
% \- помечает место, где можно переносить слово
который широко использовал его свойства в изучении дифференциальных свойств функций.

\subsection{Треугольник Паскаля} 
 
Вот как выглядит третья строка в треугольнике Паскаля
\begin{align*}
&\hbox{Номер} &    &0  &  &1   &  & 2&&3\\
&\hbox{Величина}  && 1 && 3&& 3&&1
\end{align*} 
% хитрое выравнивание
% нечетные & помечают позиции, по которым происходит выравнивание,
% четные означают начало нового блока
А вот как выглядит весь треугольник

\begin{table}[h]
\begin{center}
\begin{tabular}{ccccccccc}
& & &1& &1& & &\\
& &1& &2& &1& &\\
&1& &3& &3& &1&\\
\end{tabular}
\end{center}
\caption{Треугольник Паскаля}
\label{tab-treugolnikPaskalya}
\end{table} 
% Делаем таблицу
%
% \begin{table}[h]
% \end{table} 
% окружение для вставки таблицы в текст, [h] означает вставлять прямо 
% здесь, [t] -- вверху страницы, [hb] -- здесь или внизу и т.п.
% \caption{} -- заголовок
% \label{} -- метка, чтобы сослаться на номер таблицы
%
% \begin{tabular}{ccccccccc}
% \end{tabular}
% это уже собственно рисование таблицы, ccccc означает, что всё внутри 
% столбцов центрируется. бывает еще l или r.
%
% & &1& &2& &1& &\\
% & -- начало новой колонки, \\ -- переход к новой строке
 
\section{Основные формулы} 
 
Начнем с определения.

\begin{defn} 
Биномиальный коэффициент $C_n^k$~--- это число на $k$-м месте
в $n$-й строке треугольника Паскаля (см. таблицу \ref{tab-treugolnikPaskalya}).
\end{defn}
% Воспользовались окружением "Определение".
 
\begin{thm}
\label{thm-formula}
Имеет место формула 
\begin{equation}
\label{eqn-1}
C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}.
\end{equation} 
% Так рисуются нумерованные формулы.
\end{thm} 
% А теперь окружением "Теорема".

\begin{proof}
Нужно воспользоваться какой-нибудь комбинаторной идеей.
\end{proof}
% Окружение "доказательство".
 
\begin{remark}
Формулу (\ref{eqn-1}) можно накже записать в виде
$$
C_n^k=\frac{n\cdot (n-1)\cdot\ldots\cdot(n-k+1)}
{k\cdot(k-1)\cdot\ldots\cdot1}
$$
\end{remark} 
 
Ниже мы рассмотрим некоторые следствия теоремы \ref{thm-formula}. 

\subsection{Правило построения треугольника Паскаля}

Вот оно

\begin{figure}[h]
\begin{picture}(30,20)
\put(0,0){$a$}
\put(25,0){$b$}
\put(6,-14){$a+b$}
\path(3,-1)(14,-5)(27,-1)
\end{picture}
\caption{Правило построения треугольника Паскаля}
\end{figure}
%
% \begin{figure}[h]
% \end{figure}
% Окружение для вставки рисунков, работает также как и table
%
% \begin{picture}(30,20)
% \end{picture}
% А это уже для рисования примитивных рисуночков
 
\end{document}
