\documentclass[12pt]{amsart}
\usepackage{amssymb,amsmath}

%\usepackage[russian]{babel}
%\usepackage[english,russian]{babel}
%\usepackage[cp866]{inputenc}
%\usepackage{epsf}

\renewcommand{\le}{\leqslant}
\renewcommand{\ge}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\newcommand\E{\mathbb{E}}
%\newcommand\S{\mathbb{S}}
%\def\S{\mathbb{S}}
\newcommand\ptwo{{\psi_2}}

\begin{document}

\title[Матрицы и формулы]{Матрицы \\ и многострочные формулы}
\maketitle

\begin{center}
{\Large Матрицы}
\end{center}

%\epsfxsize=3.5cm

Так выглядит матрица, в качестве элементов можно пихать все что угодно.
$$ 
\begin{matrix}
1 & \vbox{\hsize=3.5cm \noindent Пользуясь случаем, передаю привет от КК} & 3 \\
4 & 5 & \hbox{\Huge 6} \\
7 & %\epsfbox{pict.eps} ~ 
& 9 \\
\end{matrix}
$$

Например, матрицу
$$
\left(
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & \begin{pmatrix} 9&8\\7&6 \end{pmatrix}& 9 \\
\end{pmatrix}
\right)
$$

Это определитель
$$
\left|
\begin{matrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9 \\
\end{matrix}
\right| = 
\det \left(
\begin{matrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9 \\
\end{matrix}
\right) = 0 .
$$

А это норма
$$
\left\|
\begin{matrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9 \\
\end{matrix}
\right\| .
$$

\newpage

\begin{center}
{\Large Оформление больших формул}
\end{center}

The concentration of measure phenomenon in various classes 
of pro\-bability metric spaces is a remarkable and well known theme
in Geo\-metric Functional Analysis. 
Discovered by V.~Milman, it has been crucial in proofs of many results in
the asymptotic theory of finite dimensional normed spaces.
% кусочек текста для того, чтобы обозначить ширину страницы

Большая формула (взятая из какой-то статьи), которую будем набирать 
разными способами. 
$$
\E \|F\|_2  
  \le  ( \E \|F\|_2^2 )^{1/2}
   =    \Big( \E \sum_{j=1}^m \langle F, x_j \rangle ^2 \Big)^{1/2}
   =   \Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_2(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le  C \Big( \sum_{j=1}^m 
                \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_\ptwo(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le  C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_{X^*}^2 \Big)^{1/2}  
   =   C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_2^2 \Big)^{1/2}  
   =   C n^{1/2}.
$$

\hrule

Это совсем кустарно. Так делать {\bfseries\itshape не следует}.
$$
\E \|F\|_2  
  \le  ( \E \|F\|_2^2 )^{1/2}
   =    \Big( \E \sum_{j=1}^m \langle F, x_j \rangle ^2 \Big)^{1/2} = $$
$$ =   \Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_2(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le  C \Big( \sum_{j=1}^m 
                \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_\ptwo(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le  $$
$$ \le C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_{X^*}^2 \Big)^{1/2}  
   =   C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_2^2 \Big)^{1/2}  
   =   C n^{1/2}.
$$

\hrule

Вполне разумно, если строчек 2 или 3.
\begin{multline*}
\E \|F\|_2  
  \le  ( \E \|F\|_2^2 )^{1/2}
   =    \Big( \E \sum_{j=1}^m \langle F, x_j \rangle ^2 \Big)^{1/2}
   = \\
= \Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_2(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le  C \Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_\ptwo(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le \\
\le C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_{X^*}^2 \Big)^{1/2}  
   =   C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_2^2 \Big)^{1/2}  
   =   C n^{1/2}.
\end{multline*}

\newpage

\hrule

А, если их 4 и более, то плохо. $*$ в окружении {\tt multline*} означает, 
что формулу мы не нумеруем.
\begin{multline*}
\E \|F\|_2  
  \le  ( \E \|F\|_2^2 )^{1/2}
   =    \Big( \E \sum_{j=1}^m \langle F, x_j \rangle ^2 \Big)^{1/2}
   = \\
= \Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_2(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le  C \Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_\ptwo(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le \\
= \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_2(T,\mu)}^2 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_2(T,\mu)}^2
%  \le \\
\le C \Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_\ptwo(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le \\
\le C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_{X^*}^2 \Big)^{1/2}  
   =   C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_2^2 \Big)^{1/2}  
   =   C n^{1/2}.
\end{multline*}

\hrule

А можно набирать формулы с выравниванием по знакам равен\-ства-неравенства.
\begin{align*}
\E \|F\|_2  
&\le  ( \E \|F\|_2^2 )^{1/2}
   =    \Big( \E \sum_{j=1}^m \langle F, x_j \rangle ^2 \Big)^{1/2}
   = \\
&= \Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_2(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le  C \Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_\ptwo(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le \\
&= \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_2(T,\mu)}^2 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_2(T,\mu)}^2
  \le \\
&\le C \Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_\ptwo(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le \\
&\le C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_{X^*}^2 \Big)^{1/2}  
   =   C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_2^2 \Big)^{1/2}  
   =   C n^{1/2}.
\end{align*}

\newpage 
\hrule

А можно даже и так. Места занимает много, но читать удобно.

\begin{align*}
\E \|F\|_2  
&\le  ( \E \|F\|_2^2 )^{1/2}
   = \\
&= \Big( \E \sum_{j=1}^m \langle F, x_j \rangle ^2 \Big)^{1/2}
   = \\
&= \Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_2(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le \\
&\le C \Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_\ptwo(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le \\
&\le C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_{X^*}^2 \Big)^{1/2} = \\
&= C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_2^2 \Big)^{1/2} = \\
&= C n^{1/2}.
\end{align*}

\hrule

Для любителей странного: можно выравнивать в два столбца.
\begin{align*}
\E \|F\|_2  
&\le  ( \E \|F\|_2^2 )^{1/2}
&&= \Big( \E \sum_{j=1}^m \langle F, x_j \rangle ^2 \Big)^{1/2}
   = \\
&= \Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_2(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
&&\le C \Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_\ptwo(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le \\
&\le C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_{X^*}^2 \Big)^{1/2} 
&&= C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_2^2 \Big)^{1/2} = \\
&= C n^{1/2}.
\end{align*}

\newpage
\hrule

Убрали звездочку. Наверное это не совсем то, что хотелось.

\begin{align}
\E \|F\|_2  
&\le  ( \E \|F\|_2^2 )^{1/2}
   =    \Big( \E \sum_{j=1}^m \langle F, x_j \rangle ^2 \Big)^{1/2}
   = \\
&= \Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_2(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le  C \Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_\ptwo(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le \\
&= \Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_2(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le  C \Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_\ptwo(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le \\
&\le C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_{X^*}^2 \Big)^{1/2}  
   =   C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_2^2 \Big)^{1/2}  
   =   C n^{1/2}.
\end{align}

\hrule

Лишние номера можно убрать вручную, написав {\tt $\backslash$notag}.
\begin{align}
\E \|F\|_2  
&\le  ( \E \|F\|_2^2 )^{1/2}
   =    \Big( \E \sum_{j=1}^m \langle F, x_j \rangle ^2 \Big)^{1/2}
   = \notag \\
&= \Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_2(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le  C \Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_\ptwo(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le \\
&= \Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_2(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le  C \Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_\ptwo(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le \notag \\
&\le C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_{X^*}^2 \Big)^{1/2}  
   =   C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_2^2 \Big)^{1/2}  
   =   C n^{1/2}. \notag
\end{align}

\newpage
\hrule

А вот так правильно нумеровать многострочную формулу с выравниванием. 
Номер оказывается посредине.
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\E \|F\|_2  
   \le  \bigl( \E \|F\|\strut_2^2 \bigr)^{1/2}
   =    \bigg( \E \sum_{j=1}^m \langle F, x_j \rangle ^2 \bigg)^{1/2}
   = \\
&\quad= \Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|\strut_{L_2(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le  C \Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|\strut_{L_\ptwo(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le \\
&\quad= \Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_2(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le  C \Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_\ptwo(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le \\
&\quad\le C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|\strut_{X^*}^2 \Big)^{1/2}  
   =   C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|\strut_2^2 \Big)^{1/2}  
   =   C n^{1/2}.
\end{aligned}
\end{equation}

\hrule

А можно выравнивать и более сложные конструкции. Получилось не совсем 
удачно.

\begin{equation}
\begin{aligned}
&\E \|F\|_2  
   \le  \bigl( \E \|F\|\strut_2^2 \bigr)^{1/2}
   =    \bigg( \E \sum_{j=1}^m \langle F, x_j \rangle ^2 \bigg)^{1/2}
   = \\
&\quad= \Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|\strut_{L_2(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
\begin{aligned}
&\le  C \Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|\strut_{L_\ptwo(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le \\
&= \Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_2(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le
\end{aligned} \\
&\quad\le C \Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_\ptwo(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le \\[10pt]
&\quad\le C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|\strut_{X^*}^2 \Big)^{1/2}  
   =   C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|\strut_2^2 \Big)^{1/2}  
   =   C n^{1/2}.
\end{aligned}
\end{equation}

\newpage
\hrule

Но нас спасает необязательный параметр {\tt [t]} после\\ 
{$\backslash$\tt begin\{aligned\}}.

\begin{equation}
\begin{aligned}
&\E \|F\|_2  
   \le  \bigl( \E \|F\|\strut_2^2 \bigr)^{1/2}
   =    \bigg( \E \sum_{j=1}^m \langle F, x_j \rangle ^2 \bigg)^{1/2}
   = \\
&\quad= \Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|\strut_{L_2(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
\begin{aligned}[t]
&\le  C \Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|\strut_{L_\ptwo(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le \\
&= \Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_2(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le
\end{aligned} \\
&\quad\le C \Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_\ptwo(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le \\[10pt]
&\quad\le C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|\strut_{X^*}^2 \Big)^{1/2}  
   =   C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|\strut_2^2 \Big)^{1/2}  
   =   C n^{1/2}.
\end{aligned}
\end{equation}

\hrule

Внутрь таких формул можно вставить текст, иногда это полезно.
\begin{align*}
&\E \|F\|_2  
   \le  \bigl( \E \|F\|\strut_2^2 \bigr)^{1/2}
   =    \bigg( \E \sum_{j=1}^m \langle F, x_j \rangle ^2 \bigg)^{1/2}
   = \\
\intertext{Пользуясь случаем, передаю привет от КК}
&\quad= \Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|\strut_{L_2(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
\begin{aligned}[t]
&\le  C \Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|\strut_{L_\ptwo(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le \\
&= \Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_2(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le
\end{aligned} \\[10pt]
&\quad\le C \Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_\ptwo(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le \\[10pt]
&\quad\le C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|\strut_{X^*}^2 \Big)^{1/2}  
   =   C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|\strut_2^2 \Big)^{1/2}  
   =   C n^{1/2}.
\end{align*}

\newpage

\begin{center}
{\large Масштабные значки под интегралами и знаками суммирования.}
\end{center}

Кусок какой-то нечитаемой формулы из некой статьи:
$$
\sum_{1\leq b \leq n} \sum_{1 \leq d \leq n, d \frac{C}{D} \leq (b+d) \frac{A+C}{B+D} < b \frac{A}{B} + d \frac{C}{D}} 
\sum_{a\mid b}
$$

Так немножко получше
$$
\sum_{1\leq b \leq n} \sum_{\substack{1 \leq d \leq n \\ d \frac{C}{D} \leq (b+d) \frac{A+C}{B+D} < b \frac{A}{B} + d \frac{C}{D}}} 
\sum_{a\mid b}
$$

Вообще-то так можно хоть полстраницы индексов написать.
$$
\sum_{1\leq b \leq n} \sum_{\substack{1 \leq d \leq n \\ 1 \leq e \leq n \\ 1 \leq f \leq n \\1 \leq g \leq n}} 
\sum_{a\mid b}
$$

Внутрь индексов можно вставлять знаки суммирования, в их индексы еще знаки 
и т.\,д..
$$
\sum_{\substack{1\leq k \leq n \\ \sum\limits_{\sum a_m=10} \!\!\!\!\!\!\frac1i \le n}} 
$$

\end{document}
