\documentclass{beamer}
%\documentclass[serif]{beamer}

\usepackage{amssymb}

\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[russian]{babel}

\mode<presentation>
\usetheme{Goettingen}
%\usetheme{Montpellier}
%\usetheme{Singapore}
%\usetheme{CambridgeUS}
%\usetheme{Copenhagen}
%\usetheme{Bergen}
%\usetheme{AnnArbor}
%\usetheme{Warsaw}

%\usefonttheme{structurebold}

\setbeamercovered{highly dynamic}

\setbeamerfont{normal text}{size=\normalsize,series=\normalfont,family=\rmfamily} 
\setbeamerfont{frametitle}{size=\normalsize,series=\bfseries}


\def\leq{\leqslant}
\def\geq{\geqslant}

\theoremstyle{plain}
\newtheorem{thm}{Теорема}
\newtheorem{utv}{Утверждение}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{defin}{Определение}

\title{Постулат Бертрана}
\author{А. И. Храбров}
\institute{СПбГУ}

\begin{document}

\begin{frame}
   \titlepage
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{frame}
  \frametitle{План доклада}
  \tableofcontents[pausesections]
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{О чем пойдет речь}

\subsection[Определение]{Definition}

\begin{frame}
\frametitle{Простые числа}

\begin{defin}
Число $p$ называется простым, если оно имеет ровно два различных натуральных делителя.
\end{defin}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection{Постулат Бертрана}

\begin{frame}
\frametitle{Формулировка}

\begin{thm}
Для любого натурального числа $n$ существует простое число, заключенное между числами $n$ и $2n$.
\end{thm}
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{frame}
\frametitle{История доказательства}

\begin{tabular}{lcl}
\color<1>[rgb]{1,0,0} Joseph Bertrand & 1845 & проверил при всех $n \leq 3\,000\,000$ \\
\pause
\color<2>[rgb]{1,0,0} Пафнутий Чебыш\"ев & 1850 & доказал \\
\pause
\color<3>[rgb]{1,0,0} Srinivasa Ramanujan & 1919 & дал более простое доказательство \\
\pause
\color<4>[rgb]{1,0,0} Paul Erd\H{o}s & 1932 & упростил доказательство Рамануджана \\
\end{tabular}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{За что теперь борются}

\subsection{Общее утверждение}

\begin{frame}
\frametitle{Утверждение}
\begin{utv}
При некотором $\theta$ для любого положительного $\varepsilon$ при достаточно больших натуральных числах $n$ существует простое число, заключенное между $n$ и $n+n^{\theta+\varepsilon}$.
\end{utv}

\begin{utv}
При некотором $p$ при достаточно больших натуральных числах $k$ существует простое число, заключенное между $k^p$ и $(k+1)^p$.
\end{utv}

Цель доказать утверждения для как можно меньших чисел $\theta$ и $p$.

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection{Достижения}

\begin{frame}
\frametitle{Номинация "Улучшение второго утверждения"}

\begin{tabular}{lccl}
\uncover<1>{Х. Хельброн   & 1933 & $p=250$ & $\Longrightarrow \theta=1-1/250$} \\
\uncover<2>{Н. Г. Чудаков & 1936 & $p=4$ & $\Longrightarrow \theta=1-1/4=3/4$} \\
\uncover<3>{A. E. Ingham  & 1936 & $p=3$ & $\Longrightarrow \theta=1-1/3=2/3$} \\
\end{tabular}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{frame}
\frametitle{Номинация "Улучшение первого утверждения"}
\begin{tabular}{lcc}
\uncover<1,5,7>{Ingham                  & 1937 & $\theta=5/8$}   \\
\uncover<2-4>{Ingham                  & 1937 & $\theta=38/61$} \\
\uncover<3-5>{Montgomery              & 1969 & $\theta=3/5$}   \\
\uncover<4-6>{Huxley                  & 1972 & $\theta=7/12$}  \\
\uncover<5-7>{Iwaniec and Jutila      & 1979 & $\theta=13/23$} \\
\uncover<6-8>{Heath-Brown and Iwaniec & 1979 & $\theta=11/20$} \\
\uncover<7-9>{Iwaniec and Pintz       & 1984 & $\theta=23/42$} \\
\uncover<8->{Lou and Yao             & 1994 & $\theta=7/13$}   \\
\uncover<9->{Baker, Harman, and Pintz& 1995 & $\theta=0,525$}  \\
\end{tabular}

\onslide*<4->{А дальше\dots}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{А вот, если бы\dots}

\subsection{Теорема Крамера}

\begin{frame}[plain]
\frametitle{Теорема Крамера}
\begin{thm}
Если справедлива гипотеза Римана, то для достаточно больших натуральных чисел $n$ существует простое число, заключенное между $n$ и $n+\sqrt{n}\ln n$.
\end{thm}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Еще что-то}

\begin{frame}
\frametitle{Название}
\onslide*<-1>
{Текст...........................}

\onslide*<2>
{...Текст........................}

\onslide*<3>
{......Текст.....................}

\onslide*<4>
{.........Текст..................}

\onslide*<5>
{............Текст...............}

\onslide*<6>
{...............Текст............}

\onslide*<7>
{..................Текст.........}

\onslide*<8>
{.....................Текст......}

\onslide*<9>
{........................Текст...}

\onslide*<10>
{\alert{...........................Текст}}
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Опять что-то}

\begin{frame}
\frametitle{Название}
Текст
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{И что-то еще}

\begin{frame}
\frametitle{Название}
Текст
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{И вот еще}

\begin{frame}
\frametitle{Название}
Текст
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Ну когда же они перестанут влезать?}

\begin{frame}
\frametitle{Название}
Текст
\end{frame}

\end{document}
