\documentclass[12pt,reqno]{amsart}

\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}

\usepackage{amssymb,amsmath}

\numberwithin{equation}{section}
% Заклинание выдающее номера выключных формул в виде: 
% [номер параграфа].[номер уравнения]

\newtheorem{theorem}{Теорема}[section]
% Счетчик теорема будет обнуляться в начале нового параграфа
\newtheorem{lemma}[theorem]{Лемма}
% Леммы будем нумеровать тем же счетчиком, что и теоремы
\newtheorem{sublemma}{Сублемма}[theorem]
% А вот счетчик сублемм подчиним счетчику теорем, т.е. для каждой теоремы 
% нумерация сублемм будет своя

\newcounter{abcd}
% Заводим некий абстрактный счетчик

\renewcommand\leq{\leqslant}
\renewcommand\le{\leqslant}
\renewcommand\geq{\geqslant}
\renewcommand\ge{\geqslant}

\begin{document}

\title[Счетчики, матрицы и формулы]{Счетчики, матрицы и многострочные формулы}

\maketitle

\section{Матрицы}
\label{matrix-para}
% Поставили метку, она запомнит номер параграфа и страницу, на которой он 
% начиинается

\begin{equation}
\left( 
\begin{matrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9 \\
\end{matrix}
\right) 
\end{equation}

\begin{equation}
\left| 
\begin{matrix}
1 & 2 & 3 \\
\begin{matrix} \pi & e \\ \sin 1 & \cos 2 \end{matrix} & 5 & 6 \\
7 & \vbox{\hsize=4.5cm В матрицу можно запихать все что угодно} & 9 \\
\end{matrix}
\right| 
\end{equation}

\begin{equation}
\left| 
\begin{matrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9 \\
\end{matrix}
\right|
=
\det
\left( 
\begin{matrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9 \\
\end{matrix}
\right) 
\end{equation}

\begin{equation}
\label{eq-bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9 \\
\end{bmatrix}
\end{equation}

\begin{equation}
\label{eq-pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9 \\
\end{pmatrix}
\end{equation}



\section{Счетчики}

Из параграфа~\S\ref{matrix-para} мы узнали как рисовать матрицы.
Этот параграф начинается на стр.~\pageref{matrix-para}.
Из формул~(\ref{eq-bmatrix}) и~\eqref{eq-pmatrix} мы узнали, что делают окружения {\tt bmatrix} и {\tt pmatrix}.
{\it Из формул~(\ref{eq-bmatrix}) и~\eqref{eq-pmatrix} мы узнали, что делают окружения {\tt bmatrix} и {\tt pmatrix}.}
% Ссылаемся на метки разными способами

\begin{equation}
\int_0^\infty \frac{\sin x}{x} \, dx = \frac{\pi}{2} .
\end{equation}

\renewcommand\thesublemma{\arabic{sublemma}}
% Команда \thesublemma печатает значение счетчика sublemma
% мы ее переопределили, т.к. не хотели, чтобы была нумерация типа 2.3.1.

\begin{theorem}
Какой-то текст
\end{theorem}

\begin{theorem}
Еще какой-то текст
\end{theorem}

\begin{lemma}
Какой-то текст
\end{lemma}

\begin{sublemma}
Какой-то текст
\end{sublemma}

\begin{sublemma}
Какой-то текст
\end{sublemma}

\begin{theorem}
Еще какой-то текст
\end{theorem}

\begin{lemma}
Какой-то текст
\end{lemma}

\begin{sublemma}
Какой-то текст
\end{sublemma}

\begin{sublemma}
Какой-то текст
\end{sublemma}



\section{Экспериментируем со счетчиками}

Установили начальное значение: \verb"\setcounter{abcd}{1}"
\setcounter{abcd}{1}

Посмотрели, что получилось: \verb"\theabcd"

\theabcd

Добавили еще 13: \verb"\addtocounter{abcd}{13}"
\addtocounter{abcd}{13}

Эта команда увеличивает счетчик на 1 и обнуляет все подчиненные счетчики: 
\verb"\refstepcounter{abcd}"
\refstepcounter{abcd}

Посмотрели, что получилось: \verb"\theabcd"

\theabcd

Печатаем значение разными способами:
\verb"\arabic{abcd}," 

\noindent
\verb"\Roman{abcd}, \roman{abcd}, \Alph{abcd}, \alph{abcd}"

\arabic{abcd}, \Roman{abcd}, \roman{abcd}, \Alph{abcd}, \alph{abcd}

\addtocounter{abcd}{-7}

А можно и так. Как выглядят остальные 8 символов узнайте сами:
\verb"\fnsymbol{abcd}"

\fnsymbol{abcd}

Еще пример: \verb"\Roman{section}.\arabic{abcd}"

\Roman{section}.\arabic{abcd}



\section{Навороченные формулы}

Напишем какой-нибудь текст, чтобы понимать какая у нас ширина страницы.

\newcommand\E{\mathbb E}
\newcommand\ptwo{{\psi_2}}

Большая формула (взятая из какой-то статьи), которую будем набирать 
разными способами. 
$$
\E \|F\|_2  
  \le  ( \E \|F\|_2^2 )^{1/2}
   =    \Big( \E \sum_{j=1}^m \langle F, x_j \rangle ^2 \Big)^{1/2}
   =   \Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_2(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le  C \Big( \sum_{j=1}^m 
                \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_\ptwo(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le  C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_{X^*}^2 \Big)^{1/2}  
   =   C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_2^2 \Big)^{1/2}  
   =   C n^{1/2}.
$$
\hrule

\newpage
Это совсем кустарно. Так делать {\bfseries\itshape не следует}.
$$
\E \|F\|_2  
  \le  ( \E \|F\|_2^2 )^{1/2}
   =    \Big( \E \sum_{j=1}^m \langle F, x_j \rangle ^2 \Big)^{1/2}
   =   
$$
$$
   = \Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_2(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le  C \Big( \sum_{j=1}^m 
                \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_\ptwo(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le 
$$
$$ 
  \le C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_{X^*}^2 \Big)^{1/2}  
   =   C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_2^2 \Big)^{1/2}  
   =   C n^{1/2}.
$$
\hrule

Вполне разумно, если строчек 2 или 3.
\begin{multline*}
\E \|F\|_2  
  \le  ( \E \|F\|_2^2 )^{1/2}
   =    \Big( \E \sum_{j=1}^m \langle F, x_j \rangle ^2 \Big)^{1/2}
   = 
\\  
   = \Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_2(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le  C \Big( \sum_{j=1}^m 
                \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_\ptwo(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le 
\\ 
  \le C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_{X^*}^2 \Big)^{1/2}  
   =   C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_2^2 \Big)^{1/2}  
   =   C n^{1/2}.
\end{multline*}
\hrule

А, если их 4 и более, то плохо. $*$ в окружении {\tt multline*} означает, 
что формулу мы не нумеруем.
\begin{multline*}
\E \|F\|_2  
  \le  ( \E \|F\|_2^2 )^{1/2}
   =    \Big( \E \sum_{j=1}^m \langle F, x_j \rangle ^2 \Big)^{1/2}
   = 
\\  
   = \Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_2(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le  C \Big( \sum_{j=1}^m 
                \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_\ptwo(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le 
\\  
  \le  C \Big( \sum_{j=1}^m 
                \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_\ptwo(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le 
\\  
   = \Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_2(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le  C \Big( \sum_{j=1}^m 
                \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_\ptwo(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le 
\\ 
  \le C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_{X^*}^2 \Big)^{1/2}  
   =   C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_2^2 \Big)^{1/2}  
   =   C n^{1/2}.
\end{multline*}
\hrule

\newpage
А можно набирать формулы с выравниванием по знакам равен\-ства-неравенства.
\begin{align*}
\E \|F\|_2  
  &\le  ( \E \|F\|_2^2 )^{1/2}
   =    \Big( \E \sum_{j=1}^m \langle F, x_j \rangle ^2 \Big)^{1/2}
   = 
\\  
   &= \Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_2(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le  C \Big( \sum_{j=1}^m 
                \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_\ptwo(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le 
\\  
  &\le  C \Big( \sum_{j=1}^m 
                \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_\ptwo(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le 
\\  
  &= \Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_2(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le  C \Big( \sum_{j=1}^m 
                \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_\ptwo(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le 
\\ 
  &\le C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_{X^*}^2 \Big)^{1/2}  
   =   C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_2^2 \Big)^{1/2}  
   =   C n^{1/2}.
\end{align*}
\hrule

\newpage
А можно даже и так. Места занимает много, но читать удобно.
\begin{align*}
\E \|F\|_2  
  &\le  ( \E \|F\|_2^2 )^{1/2}
   =
\\ 
  &= \Big( \E \sum_{j=1}^m \langle F, x_j \rangle ^2 \Big)^{1/2}
   = 
\\  
   &= \Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_2(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le 
\\
  &\le C \Big( \sum_{j=1}^m 
                \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_\ptwo(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le 
\\  
  &\le  C \Big( \sum_{j=1}^m 
                \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_\ptwo(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le 
\\  
  &= \Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_2(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le
\\  
  &\le C \Big( \sum_{j=1}^m 
                \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_\ptwo(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le 
\\ 
  &\le C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_{X^*}^2 \Big)^{1/2} =
\\   
  &=   C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_2^2 \Big)^{1/2}  
\\  
  &=   C n^{1/2}.
\end{align*}
\hrule

Для любителей странного: можно выравнивать в два столбца.
\begin{align*}
\E \|F\|_2  
  &\le  ( \E \|F\|_2^2 )^{1/2}
  &&=    \Big( \E \sum_{j=1}^m \langle F, x_j \rangle ^2 \Big)^{1/2}
   = 
\\  
  &= \Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_2(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  &&\le  C \Big( \sum_{j=1}^m 
                \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_\ptwo(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le 
\\ 
  &\le C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_{X^*}^2 \Big)^{1/2}  
  &&=   C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_2^2 \Big)^{1/2}  
   =   C n^{1/2}.
\end{align*}
\hrule

\newpage
Если знаков равенства не хватает, то можно написать так
\begin{align*}
\E \|F\|_2  
  &\le  ( \E \|F\|_2^2 )^{1/2}
  +    \Big( \E \sum_{j=1}^m \langle F, x_j \rangle ^2 \Big)^{1/2}
  + 
\\
&\qquad+ \Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_2(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  +  C \Big( \sum_{j=1}^m 
                \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_\ptwo(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le 
\\ 
  &\le C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_{X^*}^2 \Big)^{1/2}  
  =   C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_2^2 \Big)^{1/2}  
  =   C n^{1/2}.
\end{align*}
\hrule

А лучше так
\begin{align*}
\E \|F\|_2  
  &\le  ( \E \|F\|_2^2 )^{1/2}
\begin{aligned}[t]
  &+ \Big( \E \sum_{j=1}^m \langle F, x_j \rangle ^2 \Big)^{1/2}
  + \\ 
  &+ \Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_2(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2} + \\
  &+  C \Big( \sum_{j=1}^m 
                \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_\ptwo(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le 
\end{aligned}
\\ 
  &\le C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_{X^*}^2 \Big)^{1/2}  
  =   C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_2^2 \Big)^{1/2}  
  =   C n^{1/2}.
\end{align*}
\hrule

Убрали звездочку для нумерации формулы. Получилось не совсем то, что хотелось.
\begin{align}
\E \|F\|_2  
  &\le  ( \E \|F\|_2^2 )^{1/2}
\begin{aligned}[t]
  &+ \Big( \E \sum_{j=1}^m \langle F, x_j \rangle ^2 \Big)^{1/2}
  + \\ 
  &+ \Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_2(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2} + \\
  &+  C \Big( \sum_{j=1}^m 
                \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_\ptwo(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le 
\end{aligned}
\\ 
  &\le C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_{X^*}^2 \Big)^{1/2}  
  =   C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_2^2 \Big)^{1/2}  
  =   C n^{1/2}.
\end{align}
\hrule

\newpage
Лишние номера можно убрать вручную, написав \verb"\notag".
\begin{align}
\E \|F\|_2  
  &\le  ( \E \|F\|_2^2 )^{1/2}
\begin{aligned}[t]
  &+ \Big( \E \sum_{j=1}^m \langle F, x_j \rangle ^2 \Big)^{1/2}
  + \\ 
  &+ \Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_2(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2} + \\
  &+  C \Big( \sum_{j=1}^m 
                \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_\ptwo(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le 
\end{aligned}
\\ 
\notag
  &\le C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_{X^*}^2 \Big)^{1/2}  
  =   C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_2^2 \Big)^{1/2}  
  =   C n^{1/2}.
\end{align}
\hrule

А вот так правильно нумеровать многострочную формулу с выравниванием. 
Номер оказывается посредине.
\begin{equation}
\begin{aligned}
\E \|F\|_2  
  &\le  ( \E \|F\|_2^2 )^{1/2}
\begin{aligned}[t]
  &+ \Big( \E \sum_{j=1}^m \langle F, x_j \rangle ^2 \Big)^{1/2}
  + \\ 
  &+ \Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_2(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2} + \\
  &+  C \Big( \sum_{j=1}^m 
                \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_\ptwo(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le 
\end{aligned}
\\ 
  &\le C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_{X^*}^2 \Big)^{1/2}  
  =   C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_2^2 \Big)^{1/2}  
  =   C n^{1/2}.
\end{aligned}
\end{equation}
\hrule

Внутрь таких формул можно вставить текст, иногда это полезно.
\begin{align*}
\E \|F\|_2  
  &\le  ( \E \|F\|_2^2 )^{1/2}
\begin{aligned}[t]
  &+ \Big( \E \sum_{j=1}^m \langle F, x_j \rangle ^2 \Big)^{1/2}
  + \\ 
  &+ \Big( \sum_{j=1}^m 
               \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_2(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2} + \\
  &+  C \Big( \sum_{j=1}^m 
                \| \langle F, x_j \rangle \|_{L_\ptwo(T,\mu)}^2 \Big)^{1/2}
  \le 
\end{aligned}
\intertext{по всем известному неравенству} 
  &\le C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_{X^*}^2 \Big)^{1/2}  
  =   C \Big( \sum_{j=1}^m \|x_j\|_2^2 \Big)^{1/2}  
  =   C n^{1/2}.
\end{align*}

\section{Масштабные значки под интегралами и знаками суммирования}

$$
\varliminf\limits_{n \to \infty} x_n \stackrel{def}{=} 
\sup_{n \in \mathbb N} \inf_{k \geq n} x_k .
$$

$$
\sum_{1\leq b \leq n} \sum_{1 \leq d \leq n, d \frac{C}{D} \leq (b+d) \frac{A+C}{B+D} < b \frac{A}{B} + d \frac{C}{D}} 
\sum_{a\mid b}
$$

$$
\sum_{1\leq b \leq n} \sum_{\substack{1 \leq d \leq n \\ d \frac{C}{D} \leq (b+d) \frac{A+C}{B+D} < b \frac{A}{B} + d \frac{C}{D}}} 
\sum_{a\mid b}
$$

$$
\sum_{\substack{1 \leq a \leq n \\ 1 \leq b \leq a \\ 
1 \leq c \leq b \\ 1 \leq d \leq c \\ 1 \leq e \leq d \\
1 \leq f \leq e \\ 1 \leq g \leq f}} f^2
$$

$$
\sum_{k=1}^n a_kb_k \leq \sum_{k=1}^{\left[\sum\limits_{m=1}^n b_m\right]+1}\!\! a_k.
$$
Последняя формула --- пример из жизни: кусок задачи с городской олимпиады 
пятнадцатилетней давности.  

\end{document}
