\documentclass[12pt]{article} 

\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amssymb,amsmath}

\DeclareMathOperator{\divv}{div}
\DeclareMathOperator{\grad}{grad}
% Определяем новый оператор

\newcommand{\divvv}{\mathop{\mathrm{div}}\nolimits}
\newcommand{\divvvv}{\mathop{\mathrm{div}}}
% Определяем новый оператор (для такого действия не нужно подключать amsmath)

\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
% Переопределяем знаки нестрогих неравенств с американских на принятые у нас

\begin{document}

$x^2$, $a_1$, $a_2$, $a_3$
% индексы, степени

Эта формула занимает всю строку. Эта формула занимает всю строку.
Эта формула занимает всю строку. Эта формула занимает всю строку.
$$ 1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\dots+\frac{1}{n^2}+
\dots = \frac{\pi^2}{6} $$
% Включная формула: дроби, многоточее

$$ 1\cdot\frac{1}{2^2}\cdot\frac{1}{3^2}\cdot\frac{1}{4^2}
\dots\frac{1}{n^2}\dots =0 $$

$$ \sin^2\phi\qquad +\cos^2\phi=1\!\!-\!\!\epsilon^2 . $$
$$ \sin^2\varphi\quad+\cos^2\varphi\ \ \ \ \ \ =1-\varepsilon^2 . $$
% \quad и \qquad оставляют пробелы фиксированного размера
% \  тоже оставляет пробел

$$
\int_0^{2\pi} \sin(x)\, dx=
\iiint\limits_{\substack{x^2+y^2+z^2\leq 1,\\ x\geq 0}} \!\!\!xyz\, dx\,dy\,dz
$$
% Интеграл. \limits смешает пределы интегрирования над и под значок интеграла
% \substack позволяет эти пределы делать многоэтажными

$$
\divv v\underset{?}= \divvv v, 
\qquad\qquad
\divv_1^2 v\underset{?}= \divvv_1^2 v
\qquad\qquad
\divvv_1^2 v\underset{?}= \divvvv_1^2 v
$$
% Почуствуте разницу между наличием команды \nolimits в определении и 
% ее отсутствием

$$
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3} = \zeta(3) .
$$

Эта формула уже в строке:
$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3} = \zeta(3)$. 
Где-то здесь. Вторая версия той же формулы:
$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3} = \zeta(3)$. 
И третья версия:
$\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^3} = \zeta(3)$. 
А можно и все сразу:
$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3} = \zeta(3)$,
$\textstyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3} = \zeta(3)$, 
$\scriptstyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3} = \zeta(3)$,
${\scriptscriptstyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3} = \zeta(3)}$.
% Шрифты для формул разного размера. Последняя формула в фигурных скобках,
% чтобы ТеХ ее не разрывал.

$$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{3s}} = \zeta(3s),
\qquad
\textstyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{3s}} = \zeta(3s), 
\qquad
\scriptstyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{3s}} = \zeta(3s),
\qquad
\scriptscriptstyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{3s}} = \zeta(3s).
$$
% Те же примеры в выключной формуле

\begin{equation}
\label{laplace}
\Delta = \divv\grad : L^2(M) \to L^2(M)
\end{equation}
\begin{equation}
\label{laplace1}
\Delta: f \mapsto 
\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}
\end{equation}
% Пронумерованные уравнения и метки

Оператор Лапласа был определен в формулах (\ref{laplace}), 
\eqref{laplace1}. Всё это читатель может найти на стр. \pageref{laplace}. 
% Ссылки на них. Вторая ставит скобки автоматически. Третья -- ссылка на 
% номер страницы.

\begin{multline}
\Gamma(m)=\text{(по определению)}=\ker\bigl(SL(2,\mathbb{Z})\to SL(2,\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})\bigr)
=\\=
\left\{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}:\quad
\begin{matrix} 
a \equiv d\equiv1\!\!\!\pmod{m}\\  
b \equiv c\equiv0\!\!\!\pmod{m}\end{matrix}
\right\}
\end{multline}
% Многострочная формула

\begin{align}
\Gamma(m)=\text{(по определению)}&=\ker\bigl(SL(2,\mathbb{Z})\to SL(2,\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})\bigr)
=\\&=
\left\{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}:\quad
\begin{matrix} 
a \equiv d\equiv1\!\!\!\pmod{m}\\  
b \equiv c\equiv0\!\!\!\pmod{m}\end{matrix}
\right\}
\end{align}
% Она же с выравниванием
% К сожалению пронумеровались обе строки

\begin{equation}
\begin{aligned}
\Gamma(m)=\text{(по определению)}&=\ker\bigl(SL(2,\mathbb{Z})\to SL(2,\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})\bigr)
=\\&=
\left\{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}:\quad
\begin{matrix} 
a \equiv d\equiv1\!\!\!\pmod{m}\\  
b \equiv c\equiv0\!\!\!\pmod{m}\end{matrix}
\right\}
\end{aligned}
\end{equation}
% Так правильно нумеровать такую формулу

\begin{align*}
\Gamma(m) &\overset{\text{(по определению)}}=\ker\bigl(SL(2,\mathbb{Z})\to SL(2,\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})\bigr)
=\\ &\quad\,\,\,\quad=
\left\{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}:\quad
\begin{matrix} 
a \equiv d\equiv1\!\!\!\pmod{m}\\  
b \equiv c\equiv0\!\!\!\pmod{m}\end{matrix}
\right\}
\end{align*}
% Ручная подгонка

\end{document}
