\documentclass[12pt]{amsart}

\usepackage[draft,columns=1]{typogrid}
% Это заклинание нужно для того чтобы рисовалась рамочка (чтобы было видно какие формулы не лезут)

\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}

\usepackage{amsmath, amssymb}

\theoremstyle{plain}
\newtheorem{thm}{Теорема}[section]
\newtheorem{Thm}{Теорема}[section]
% Тут мы потребовали чтобы номер теоремы выглядел так: 
% <номер параграфа>.<номер теоремы в текущем параграфе>
\newtheorem{Lemma}[Thm]{Лемма}
\newtheorem{Cor}[Thm]{Следствие}
% Лемму и Следствие нумеруем тем же счетчиком, тчо и теорему Thm

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{define}{Определение}

\theoremstyle{remark}
\newtheorem{remark}{Замечание}
\newtheorem*{rem}{Замечание}
% * значит без номера

\begin{document}

\section{Введение}
\label{sec:vvedenie}

\subsection{Самое начало}

Какой-то текст.

\begin{thm}
\label{th:sin^2+cos^2}
При всех $x$ имеет место тождество
\begin{equation}
\label{eq:sin^2+cos^2}
\sin^2x+\cos^2x=1 .
\end{equation}
\end{thm}

Какой-то текст.

\begin{thm}
\label{th:ch^2-sh^2}
При всех $x$ имеет место тождество
\begin{equation}
\label{eq:ch^2-sh^2}
\ch^2x-\sh^2x=1 .
\end{equation}
\end{thm}

С комплексной точки зрения теорема~\ref{th:sin^2+cos^2} и теорема~\ref{th:ch^2-sh^2} это одно и то же. А формулы~\eqref{eq:sin^2+cos^2} и~(\ref{eq:ch^2-sh^2}) есть просто свойства экспоненты. {\bfseries\itshape А формулы~\eqref{eq:sin^2+cos^2} и~(\ref{eq:ch^2-sh^2}) есть просто свойства экспоненты.}

{\bfseries Какой-то текст}

{\mdseries Какой-то текст}

{\itshape Какой-то текст}

{\slshape Какой-то текст}

{\scshape Какой-то текст}

{\upshape Какой-то текст}

{\ttfamily Какой-то текст}

{\sffamily Какой-то текст}

{\rmfamily Какой-то текст}

{\ttfamily\itshape Какой-то текст}

{\sffamily\itshape Какой-то текст}

\begin{define}
\emph{Экспонентой} называется функция, задаваемая рядом
$$
\exp z = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} .
$$
\end{define}

\begin{remark}
Этот ряд сходится при всех $z \in \mathbb C$.
\end{remark}

\begin{rem}
Этот ряд сходится при всех $z \in \mathbb C$.
\end{rem}

\begin{Thm}
Какая-то теорема.
\end{Thm}

\section{Сплошная нумерация и подчиненные счетчики}

\begin{Thm}
Какая-то теорема.
\end{Thm}

\begin{Lemma}
Какая-то лемма.
\end{Lemma}

\begin{Lemma}
Еще какая-то лемма.
\end{Lemma}

\begin{Cor}
Какое-то следствие.
\end{Cor}

\begin{Cor}
Еще какое-то следствие.
\end{Cor}

\begin{define}
Какое-то определение.
\end{define}

\section{Многострочные формулы}

Какой-то текст.
$$
\int_0^{\pi/2} \sin^nx\,dx = 
-\int_0^{\pi/2} \sin^{n-1}x\,d\cos x = 
-\sin^{n-1}x \cos x \bigg|_0^{\pi/2} + 
\int_0^{\pi/2} (n-1)\sin^{n-2}x\cos^2x\,d x . 
$$
Какой-то текст.
$$
\int_0^{\pi/2} \sin^nx\,dx = 
-\int_0^{\pi/2} \sin^{n-1}x\,d\cos x = 
$$
$$
= -\sin^{n-1}x \cos x \bigg|_0^{\pi/2} + 
\int_0^{\pi/2} (n-1)\sin^{n-2}x\cos^2x\,d x . 
$$
Какой-то текст.
\begin{multline*}
\int_0^{\pi/2} \sin^nx\,dx = 
-\int_0^{\pi/2} \sin^{n-1}x\,d\cos x = 
\\
= -\sin^{n-1}x \cos x \bigg|_0^{\pi/2} + 
\int_0^{\pi/2} (n-1)\sin^{n-2}x\cos^2x\,d x . 
\end{multline*}
Какой-то текст.
\begin{multline*}
I_n = \int_0^{\pi/2} \sin^nx\,dx = 
-\int_0^{\pi/2} \sin^{n-1}x\,d\cos x = 
\\
= -\sin^{n-1}x \cos x \bigg|_0^{\pi/2} + 
\int_0^{\pi/2} (n-1)\sin^{n-2}x\cos^2x\,d x = 
\\
= -\sin^{n-1}x \cos x \bigg|_0^{\pi/2} + 
\int_0^{\pi/2} (n-1)\sin^{n-2}x(1-\sin^2x)\,d x = 
\\
= \int_0^{\pi/2} (n-1)\sin^{n-2}x(1-\sin^2x)\,d x = 
(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n . 
\end{multline*}
Какой-то текст.
\begin{align*}
I_n &= \int_0^{\pi/2} \sin^nx\,dx = 
-\int_0^{\pi/2} \sin^{n-1}x\,d\cos x = 
\\
&= -\sin^{n-1}x \cos x \bigg|_0^{\pi/2} + 
\int_0^{\pi/2} (n-1)\sin^{n-2}x\cos^2x\,d x = 
\\
&= -\sin^{n-1}x \cos x \bigg|_0^{\pi/2} + 
\int_0^{\pi/2} (n-1)\sin^{n-2}x(1-\sin^2x)\,d x = 
\\
&= \int_0^{\pi/2} (n-1)\sin^{n-2}x(1-\sin^2x)\,d x = 
(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n . 
\end{align*}
\subsection{А теперь все это пронумеруем}
Какой-то текст.
\begin{multline}
I_n = \int_0^{\pi/2} \sin^nx\,dx = 
-\int_0^{\pi/2} \sin^{n-1}x\,d\cos x = 
\\
= -\sin^{n-1}x \cos x \bigg|_0^{\pi/2} + 
\int_0^{\pi/2} (n-1)\sin^{n-2}x\cos^2x\,d x = 
\\
= -\sin^{n-1}x \cos x \bigg|_0^{\pi/2} + 
\int_0^{\pi/2} (n-1)\sin^{n-2}x(1-\sin^2x)\,d x = 
\\
= \int_0^{\pi/2} (n-1)\sin^{n-2}x(1-\sin^2x)\,d x = 
(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n . 
\end{multline}
Какой-то текст.
\begin{align}
I_n &= \int_0^{\pi/2} \sin^nx\,dx = 
-\int_0^{\pi/2} \sin^{n-1}x\,d\cos x = 
\\
&= -\sin^{n-1}x \cos x \bigg|_0^{\pi/2} + 
\int_0^{\pi/2} (n-1)\sin^{n-2}x\cos^2x\,d x = 
\\
&= -\sin^{n-1}x \cos x \bigg|_0^{\pi/2} + 
\int_0^{\pi/2} (n-1)\sin^{n-2}x(1-\sin^2x)\,d x = 
\\
&= \int_0^{\pi/2} (n-1)\sin^{n-2}x(1-\sin^2x)\,d x = 
(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n . 
\end{align}
Какой-то текст.
\begin{equation}
\begin{aligned}
I_n &= \int_0^{\pi/2} \sin^nx\,dx = 
-\int_0^{\pi/2} \sin^{n-1}x\,d\cos x = 
\\
&= -\sin^{n-1}x \cos x \bigg|_0^{\pi/2} + 
\int_0^{\pi/2} (n-1)\sin^{n-2}x\cos^2x\,d x = 
\\
&= -\sin^{n-1}x \cos x \bigg|_0^{\pi/2} + 
\int_0^{\pi/2} (n-1)\sin^{n-2}x(1-\sin^2x)\,d x = 
\\
&= \int_0^{\pi/2} (n-1)\sin^{n-2}x(1-\sin^2x)\,d x = 
\\
&= (n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n . 
\end{aligned}
\end{equation}
Какой-то текст.
\begin{align}
I_n &= \int_0^{\pi/2} \sin^nx\,dx = 
-\int_0^{\pi/2} \sin^{n-1}x\,d\cos x = 
\\
\notag
% Соответствующую строку формулы не нумеруем
&= -\sin^{n-1}x \cos x \bigg|_0^{\pi/2} + 
\int_0^{\pi/2} (n-1)\sin^{n-2}x\cos^2x\,d x = 
\\
\notag
&= -\sin^{n-1}x \cos x \bigg|_0^{\pi/2} + 
\int_0^{\pi/2} (n-1)\sin^{n-2}x(1-\sin^2x)\,d x = 
\\
&= \int_0^{\pi/2} (n-1)\sin^{n-2}x(1-\sin^2x)\,d x = 
\\
&= (n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n . 
\end{align}
Какой-то текст.
\begin{equation}
\begin{aligned}
I_n &= \int_0^{\pi/2} \sin^nx\,dx = 
-\int_0^{\pi/2} \sin^{n-1}x\,d\cos x = 
\\
&= -\sin^{n-1}x \cos x \bigg|_0^{\pi/2}
\begin{aligned}[t]
% [t] означает выравнивание по верху формулы
&+\int_0^{\pi/2} (n-1)\sin^{n-2}x\cos^2x\,d x +\phantom{x}
\\[3pt]
% Это дополнительный вертикальный отступ
&+\text{какая-то бяка} = 
\end{aligned}
\\
&= -\sin^{n-1}x \cos x \bigg|_0^{\pi/2} + 
\int_0^{\pi/2} (n-1)\sin^{n-2}x(1-\sin^2x)\,d x = 
\\
&= \int_0^{\pi/2} (n-1)\sin^{n-2}x(1-\sin^2x)\,d x = 
\\
&= (n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n . 
\end{aligned}
\end{equation}

\end{document}
