Геометрия нормированных пространств.
2003 год, спец. курс для студентов 5 курса.
1. Лемма о минимальных $\eps$-сетях. Существование меры Хаара.
2. Метризация группы изометрий. Единственность меры Хаара.
3. Носитель меры Хаара. Мера Хаара на Грассмановом многообразии.
Следствие об интегрировании функций на сфере.
4. Связь между выпуклыми телами и нормированными пространствами. Объемы
единичных шаров пространств $\ell^p_n$.
5. Расстояние Банаха-Мазура: простейшие свойства. Компакт Минковского.
Объемные отношения.
6. Теорема Джона. Следствия.
7. Расстояния между пространствами $\ell^p_n$ и $\ell^q_n$ при
$(p-2)(q-2) \geq 0$. Оценка усреднений
$\Ave \left\| \sum \eps_k x_k \right\|_{\ell^p_n}$.
8. Расстояния между пространствами $\ell^p_n$ и $\ell^q_n$ при
$(p-2)(q-2) < 0$.
9. Объемные отношения для пространств $\ell^p_n$.
10. Лемма Дворецкого-Роджерса. Следствия: оценки объемных отношений.
11. Следствия леммы Дворецкого-Роджерса: оценки интегралов по сфере.
12. Почти сферические сечения тел с ограниченным объемным отношением.
13. Следствия. Теорема о существовании специального базиса в $L^2[0,1]$
(конструкция базиса, без доказательства).
14. Неравенства Прекопы-Лейндлера и Брунна-Минковского.
15. Изопериметрическое неравенство и неравенство Урысона.
16. Симметризация Штейнера. Элементарные свойства.
17. Теорема Гросса-Люстерника. Неравенство Сантало.
18. Леммы к доказательству неравенства Браскампа-Лиеба.
19. Неравенство Браскампа-Лиеба. Экстремальные объемные отношения.
20. Обратное изопериметрическое неравенство. Оценки объемов сечений куба.
21. Теорема о концентрации меры на сфере. Два доказательства. Лемма Леви.
22. Почти сферического сечения. Оценка размерности через медиану функции
$x \to \| x \|$ (с леммами).
23. Связь медианы и среднего Леви. Теорема Дворецкого.
24. Следствия теоремы Дворецкого. Асимптотика размерности почти сферических
сечений в пространстве $\ell^p_n$ при $p < \infty$.
25. Неулучшаемость теоремы Дворецкого. Почти сферические сечения куба.
26. Леммы к теореме Глускина: оценка меры через объем, минимальные
$\eps$-сети, связь между объемами шаров в равномерной норме и норме
Гильберта-Шмидта, оценки объема многогранника.
27. Леммы к теореме Глускина: оценка меры множества операторов, оценка
мощности $\eps$-сети в равномерной норме, включение
$Q (X, \beta, m) \subset Q_\eps (X, \beta + \eps, m)$.
28. Следствия лемм. Теорема Глускина. Теорема
Дэвиса-Мильмана-Томчак-Егерманн.
29. Нижние оценки объемных отношений.
30. Оценки объемных отношений проекций через $M_X M_{X^*}$. Следствие.
