Асимптотическая выпуклая геометрия.
2004 год, спец. курс для студентов 5 курса.
1. Лемма о минимальных $\eps$-сетях. Существование меры Хаара.
2. Метризация группы изометрий. Единственность меры Хаара.
3. Носитель меры Хаара. Мера Хаара на Грассмановом многообразии.
Следствие об интегрировании функций на сфере.
4. Связь между выпуклыми телами и нормированными пространствами. Объемы
единичных шаров пространств $\ell^p_n$.
5. Расстояние Банаха-Мазура: простейшие свойства. Компакт Минковского.
Объемные отношения.
6. Идеальные нормы: $p$-абсолютно суммирующая норма. Равенство
$\pi_2 (T) = \| T \|_{HS}$.
7. Идеальные нормы: ядерная норма, двойственные нормы.
8. Теоремы Льюиса и Ауэрбаха.
9. Единственность в теореме Льюиса. Следствие.
10. Теорема Джона. Следствия.
11. Проекция Радемахера. Неравенство Бернштейна. Следствия.
12. Неравенство Пизье.
13. Связь между $r_u$-нормой и $r_u^*$-нормой. Связь между $\ell$-нормой и
интегралом от $r_u$-норм.
14. Связь между $\ell$-нормой и $r_u$-нормой. Неравенство
Фигеля-Томчак-Егерманн и другие следствия.
15. Расстояния между пространствами $\ell^p_n$ и $\ell^q_n$ при
$(p-2)(q-2) \geq 0$. Оценка усреднений
$\Ave \left\| \sum \eps_k x_k \right\|_{\ell^p_n}$.
16. Расстояния между пространствами $\ell^p_n$ и $\ell^q_n$ при
$(p-2)(q-2) < 0$.
17. Лемма Дворецкого-Роджерса. Следствия.
18. Интеграл от $\max |x_i|$. Нижняя оценка среднего Леви. Неулучшаемость
оценки.
19. Теорема Шарека о почти сферических сечениях тел с ограниченным объемным
отношением.
20. Следствия теоремы Шарека.
21. Неравенства Прекопы-Лейндлера и Брунна-Минковского.
22. Изопериметрическое неравенство и неравенство Урысона.
23. Симметризация Штейнера. Элементарные свойства.
24. Теорема Гросса-Люстерника. Неравенство Сантало.
25. Теорема о концентрации меры на сфере. Лемма Леви. Оценка мощности
$\eps$-сети.
26. Почти сферические сечения. Оценка размерности сечения через медиану
функции $x \to \| x \|$ (с леммами).
27. Связь медианы и среднего Леви. Теорема Дворецкого.
28. Следствия теоремы Дворецкого. Асимптотика размерности почти сферических
сечений в пространстве $\ell^p_n$ при $p < \infty$.
29. Оценка объемных отношений проекций через $M_X M_{X^*}$.
30. Следствие $M_X M_{X^*}$ оценки. QS-теорема.
31. Лемма Роджерса-Шепарда.
32. Неравенство Бургейна-Мильмана.
