Бесконечномерные банаховы пространства.
2005 год, спец. курс для студентов 5 курса.
1. Базисы Шаудера. Связь с нормами проекций. Ограниченные базисы.
2. Достаточное условие "базисности". Функции Шаудера и функции
Хаара. Равносильное определение базиса.
3. Натягивающие и ограниченно полные базисы. Связь этих свойств
базиса с двойственностью.
4. Критерий рефлексивности Джеймса. Блочные последовательности.
5. Расстояние Банаха--Мазура.
6. Эквивалентные определения безусловной сходимости. Теорема Дворецкого.
7. Лемма Дворецкого--Роджерса. Следствия.
8. Теорема Лебега--Витали--Сакса.
9. Слабая секвенциальная полнота пространства $L^1 (T, \mu)$ и
рефлексивных пространств.
10. Безусловные базисы. Связь с нормами проекций и примеры.
11. Теорема об устойчивой оценке нормы. Натягивающие безусловные базисы.
12. Ограниченно полные безусловные базисы. Рефлексивные пространства с
безусловным базисом.
13. Универсальность пространства $C[0,1]$.
14. Примеры пространств без безусловного базиса.
15. Пространство Джеймса.
16. Свойство аппроксимации. Характеристика непрерывных функционалов
на пространстве $(L(X,Y),\tau)$.
17. Теорема Гротендика об условиях эквивалентных свойству аппроксимации.
18. Слабые операторные топологии. Леммы о сходящихся направлениях операторов.
19. Принцип локальной рефлексивности. Условие эквивалентное свойству
аппроксимации в пространстве $X^*$.
20. Связь условии аппроксимации в пространствах $X$ и $X^*$.
Теорема Гротендика о существовании бесконечной матрицы. Следствие.
21. Проекторы и дополняемые подпространства. Недополняемость $c_0$ в
$\ell^\infty$.
22. Существование недополняемых подпространств в $\ell^p$.
23. Лемма Рудина об инвариантных проекторах. Недополняемость $A$ в
$C(\mathbb T)$.
24. Связь между проекционными константами и недополняемыми
подпространствами. Характеристика гильбертовости пространства с
помощью конечномерных подпространств.
25. Теоремы Линденштраусса--Цафрири и Джойхи.
26. Теорема Джеймса.
27. Пространства Шрейера и Баернштейна.
28. Пространства Цирельсона.
29. Инвариантные подпространства. Теорема Ломоносова.
30. Теорема Пелчинского--Фигеля.
31. Неравенство Бернштейна. Пример Энфло: конструкция.
32. Пример Энфло: оценки.
